今天鞋百科给各位分享求轨迹方程有哪些步骤的知识，其中也会对怎么求一个数的轨迹方程？(怎么求一个数的轨迹方程公式)进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在我们开始吧！

怎么求一个数的轨迹方程？

一、求动点的轨迹方程的基本步骤
1.建立适当的坐标系,设出动点M的坐标;
2.写出点M的集合;
3.列出方程=0;
4.化简方程为最简形式;
5.检验.
二、求动点的轨迹方程的常用方法:
求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等.
1.直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法.
2.定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法.
3.相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法.
4.参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法.
5.交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法.
典型例题
例1、已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,从F2点向∠F1QF2的平分线作垂线F2P,垂足为P点,求P点的轨迹方程.
分析:注意图形的几何性质,联想到双曲线的定义,可考虑用定义法求轨迹方程.
解答:如图,连结OP, 则由角平分线的性质,
得|AQ|=|F2Q|.
由三角形中位线性质,得.
.
(若点Q在双曲线的左支上时,应为).
即.∴P点轨迹方程即为.
例2、设动圆C的对称轴平行于坐标轴,长轴长为4,且以y轴为左准线,左顶点A在抛物线y2=x-1上移动,求这些椭圆的中心C的轨迹方程.
分析:A点和C点是一对相关点,设法将A点的坐标用C点坐标表达,用相关点法求C的轨迹方程.
解答:设中心C的坐标(x,y),则A的坐标为(x-2,y),又A在抛物线y2=x-1上移动.
∴y2=(x-2)-1,即y2=x-3,此即所求C的轨迹方程.
另外,问题也可用参数法求解.
∵左顶点A在抛物线y2=x-1上移动,
∴设A(t2+1,t)(t为参数).
∵y=yA=t, ①
∵2a=4,∴a=2,∴x=xA+2=t2+3. ②
由①、②消去参数t,得中心C的轨迹方程是y2=x-3.
例3、如图,P是抛物线C:上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程.
分析:这是2004年全国高考题(福建卷)理科的压轴题,依题意直线l的方程可用P的横坐标表达,于是选择以P的横坐标为参数,用参数法求解动点M的轨迹方程.
解答:设P(x1,y1),M(x0,y0),其中x1≠0.
由, ①
由,∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∴直线l的斜率,
直线l的方程为 ②
联立①②消去y,得.
∵M为PQ的中点,∴
消去x1,得.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
另外,此题属"中点弦"的问题,可考虑用"点差法"来处理.探求x0与x1的关系.
设P2(x2,y2),于是由.
得,
则,
将上式代入②并整理,得.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
例4、已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
分析:这是一道探索性问题,首先求出P点坐标满足的方程,再根据此判断是否存在两定点,使P到两定点的距离之和为定值.鉴于P为两直线GE和OF的交点,可用交轨法求解P的轨迹方程.
解答:以O为**,AB所在直线为x轴建立如图的直线坐标系.
按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).
设(0≤k≤1),
由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).
直线OF的方程为:2ax+(2k-1)y=0, ①
直线GE的方程为:-a(2k-1)x+y-2a=0, ②
从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0,
整理得.
当时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
当时,点P的轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离和为定长.
当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.
当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a.
例5、动直线l过定点A(2,0),且与抛物线y=x2+2相交于不同的两点B和C,点B和C在x轴上的射影分别是B′和C′(如图),P是线段BC上的点,并满足关系式|BP|∶|PC|=|BB′|∶|CC′|,求POA的重心G的轨迹方程.
分析:本题是一道较复杂的轨迹综合题,动点G的位置取决于P点的位置,即P是G的相关点,又P在动直线l上,l绕定点A(2,0)而动,依前所述,选用斜率k为参数较合理,又相应点P在运动时,还要满足这一比值,这又出现了另一参数λ,为多元参数.
解答:设直线l的斜率为k,显然l与x轴垂直时,l与抛物线不可能有两个交点,故l的方程为y=k(x-2) .将它与抛物线方程联立,消去y得x2-kx+2+2k=0.
此方程有两个不同实根的充要条件是=k2-4(2+2k)=k2-8k-8=0.
解得,或. ①
设B、C两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=k,x1x2=2+2k. ②
令③设,依定**点公式,有④设动点G的坐标为(x,y),则将④、③、②分别代入上式并注意到,
可得 消去k得12x―3y―4=0.
另外,由可得,代入①,得,或.
解之得(并注意到y≠4).,若.
因此,POA的重心G的轨迹方程为12x-3y-4=0.
其中.
它表示一条除去端点及其点的线段.
点评:解决本题时,应充分注意所求轨迹方程中y的取值范围,这是最容易出现失误的,甚至可能发生根本不去求出k的范围,而误认为所求的轨迹方程为12x-3y-4=0.
例6、如图所示,给出定点A(a,0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
分析一:借助交轨法和参数法,并利用角平分线上一点到角的两边的距离相等的性质解题.
解答一:依题意,记B(-1,b),(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0或y=-bx,设点C(x,y),则有0≤x据点到直线的距离公式可得. ①
由于点C在直线AB上,故有.
由x-a≠0,得. ②
将②代入①得.
整理,得,
若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式.
综上得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x(1)当a=1时,轨迹方程化为y2=x(0≤x<1),此时,方程表示抛物线弧段.
(2)当a≠1时,轨迹方程化为.
所以,当0当a>1时,方程表示双曲线一支的弧段.
分析二:借助两倍角的正切公式解题.
解答二:如图所示,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x,E是垂足.
(1)当|BD|≠0时,设点C(x,y),则0由CE//BD,得.
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,又2∠COA=π-∠BOD.
∴.
整理,得.
(2)当|BD|=0时,∠BOA=,则点C的坐标为(0,0),满足上式.
综合(1)、(2),得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0以下同解法一.
分析三:由于C、A、B三点在一直线上,而A、B在特殊直线上,故可构造定**点公式模型解决本题.
解答三:设C(x,y),其中0≤x∵OC平分∠AOB,∴,从而,
由定**点公式 即
分别用b2、代入有,
化简得.
以下同解法一.
点评:对于本题给出的三种解法,实质上是分别从三种不同的角度去审视问题的结果.这同时也表明,即使是一个较难的问题,只要我们深入地挖掘问题的各种知识背景,就完全有可能找出一个个异彩纷呈的解法,从而由此提高综合分析问题与解决问题的能力以及增强解题的创新意识.
总之,在解决求解轨迹方程问题时,要重视基本方法的综合运用,要有意识地去观察图形的几何性质,要合理地去选择参数,还应特别留意轨迹的完备性和纯粹性.
巩固练习
1.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹是( )
A.圆B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2.已知点P在直线x=2上移动,直线l通过**且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于Q,求点Q的轨迹方程.
3.如图,设点A和B为抛物线y=4px(p>0)上**以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程.
4.已知椭圆直线l:.P是l上一点.射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
参考答案:
1.C
2.
3.x2+y2-4px=0(x≠0)
4.点Q的轨迹方程为(其中x,y不同时为零),其轨迹是以(1,1)为中心,长短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆,去掉坐标**.
数学应用题的解题方法
应用问题是考查应用数学意识和能力的极好题型,它题材贴近生活,涉及知识面广,题型功能丰富,增加应用性与能力性试题是高考改革的方向,解决实际问题的应用题已成为高考的热点.
解答应用问题就是在阅读材料,理解题意的基础上,把实际问题抽象转化成数学问题,建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学答案,然后再把数学答案返回到实际问题中去,获取具有实际意义的结论,求解数学应用问题的思路和方法,可以用示意图表示为:
下面就应用题常见的数学模型举一些实例,以求开阔同学们的思维,受到一些启示.
1.建立函数模型
例1、某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽为5米,短边外小路8米(如图).绿地长边至多长28米,至少长20米.对于给定的a(300≤a≤700),怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小?
分析:引入长边长为自变量x,建立关于总占地面积的目标函数x,再利用函数性质和不等式知识求解.
解答:设绿地的长边为x米(x>0),则短边为米,且.总占地为S平方米.
当且仅当,即时,上式中等号成立,满足等号成立的充要条件为:
即250≤a≤490.又依条件300≤a≤700.
故(1)当300≤a≤490,即时,S有最小值,此时长为,宽为米.
(2)当490≤a≤700时,设.
.
这是因为20≤x≤28,a>490,使得28-x≥0,16a>7840≥280x的缘故.
因此,当x=28时,S有最小值,并注意到此时.
点评:求解函数模型经常要用到不等式的知识,有两点特别值得注意,一是函数自变量范围应在实际意义下考虑;二是在利用均值不等式求函数最值时,必须要检验等号是否能够成立.
例2、制定投资计划时,不仅考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
分析:这是今年江苏高考试题,可将总盈利z表达成甲、乙两个项目的投资额x、y的目标函数z(x、y),问题就转化为在x、y约束条件(不等关系)的最值问题,可借助线性规划知识求解.
解答:设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,
由题意知,
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,*影部分(含边界)即可行域.
作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的直线x+0.5y=z(z∈R),与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离最大.这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8交点.
解方程组,得x=4,y=6.
此时z=4+0.5*6=7(万元).∴当x=4,y=6时,z取得最大值.
答:投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
点评:这是一道线性规划问题,是运筹学中最基础的内容,可用中学知识求解.一般采用的方法有目标函数分析法和图解法.学生在解决这类问题时的主要困难之处在于不会把约束条件中的多个等式或不等式与所求目标沟通起来,关于简单线性规划问题,高中数学新教材中已增加了此项内容,我们在复习过程中应给予一定的重视.
2.建立数列模型
例3、某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
分析:引入新增汽车数量为未知数,以各年末的汽车保有量为项建立数列模型,借助数列知识求解.
解答:2001年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,…,每年新增汽车x万辆,则:
b1=30,b2=b1*0.94+x.
对于n>1,有bn+1=bn*0.94+x=bn-1*0.94x2+(1+0.94)x,
……
当,即x≤1.8时,bn+1≤bn≤…≤b1=30.
当,即x>1.8时,.
并且数列{bn}逐项增加,可以任意靠近.
因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即bn≤60(n=1,2,3,…).
则,即x≤3.6(万辆).
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.
评注:求数列的通项是解决问题的关键,对于递推式bn+1=bn*0.94+x,也可作如下化归处理:
另外还应有一点极限知识才行.

求轨迹方程的方法有哪些

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轨迹方程怎么求?

1、直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

2、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

3、相关点法：用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0,y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

4、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

扩展资料：

求的轨迹方程的基本步骤：

1、建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

2、写出点M的集合；

3、列出方程=0;

4、化简方程为最简形式；

5、检验；

参考资料来源：百度百科-轨迹方程

求轨迹方程的方法有哪些

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解析几何中求轨迹方程问题

1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵kOM•kAM=-1，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由学生完成)
由弦长公式得：
即a2b2=4b2-a2．
5．代入法
若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹（曲线）c:f(x,y)=0上的动点q（x1,y1）存在着某种联系，则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来，然后代入曲线c的方程f(x,y)=0中并化简，即得动点p轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法（又称相关点法）.
例3 已知定点a（4，0）和曲线c：x2+y2=4上的动点b，点p分ab之比为2∶1，求动点p的轨迹方程.
解析 要求动点p(x,y)的轨迹方程，即要建立关于p的坐标x,y的等量关系，而直接建立x,y的等量关系十分困难，但可以先寻找动点b(x0,y0)的坐标x0,y0之间的关系，再利用已知的p与b之间的关系（即x,y与x0,y0之间关系）得到关于x,y的方程.
设动点p为(x,y)，b为（x0,y0）.
因为ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因为点b在曲线c上，所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以点p的轨迹方程为x-432+y2=169.
点评 代入法的主要步骤：
（1） 设所求轨迹上的任意一点为p(x,y)，相对应的已知曲线上的点为q(x1,y1);
（2） 建立关系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
（3） 将这两上式子代入已知曲线方程中并化简，即得所求轨迹的方程.
6． 参数法
根据题设条件，用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y，或列出两个含同一个参数的动点(x，y)的坐标x和y之间的关系式，这样就间接地把x和y联系起来了，然后联立这两个等式并消去参数，即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.
例4 已知动点m 在曲线c：13x2+13y2-15x-36y=0上，点n在射线om上，且|om|•|on|=12，求动点n的轨迹方程.
解析 点n在射线om上，而在同一条以坐标**为端点的射线上的任意两点（x1,y1）,(x2,y2)的坐标的关系为x1x2=y1y2=k,k为常数且k＞0,故可采用参数法求点n的轨迹方程.
设n为（x,y）,则m为（kx,ky）,k＞0.
因为|om|•|on|=12，所以k2(x2+y2)•x2+y2=12，
所以k(x2+y2)=12.
又点m在曲线c上，所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上两式消去k,得5x+12y-52=0,
所以点n的轨迹方程为5x+12y-52=0.
点评 用参数法求轨迹方程的步骤为：先引进参数，用此参数分别表示动点的横、纵坐标x,y；再消去参数，得到关于x,y的方程，即为所求的轨迹方程.注意参数的取值范围对动点的坐标x和y的取值范围的影响.
另外，求动点的轨迹方程时，还应注意下面几点：
（1） 坐标系要建立得适当.这样可以使运算过程简单，所得到的方程也比较简单.
（2） 根据动点所要满足的条件列出方程是最重要的一环.要做好这一步，应先认真分析题设条件，综合利用平面几何知识，列出几何关系（等式），再利用解析几何中的一些基本概念、公式、定理等将几何关系（等式）坐标化.
（3） 化简所求得的轨迹方程时，如果所做的变形不是该方程的同解变形，那么必须注意在该变形过程中是增加了方程的解，还是减少了方程的解，并在所得的方程中删去或补上相应的点，这时一般不要求写出证明过程.

怎样求曲线运动的轨迹方程？

先写出y与t、x与t的关系式
再消去时间t
表达出y与x的关系式

高中数学：求动点轨迹的方程都有什么样的类型，有什么常用的方法

1直接法：根据轨道上的动点所适合的条件直接列出等式
2定义法：若可以分析**迹是什么曲线可列出曲线方程代入求解。
3代入法：如果p点所在曲线已知，而p与q点坐标之间可以
建立某种联系则可借p的方程解出q。
4参数法：若动点坐标关系难以找出，可以引入参数令
x=f(t),y=f(t)之后再消去参数即可。
总的步骤为：1建立坐标系设出动点
2寻找动点与已知的联系
3
代入动点与已知点坐标，化简**迹方程